复变函数要点速览

1复数和平面点集

1.1 复数

1.1.1 复数的四则运算

1. 1.

   加减法：$z_1\pm z_2=(x_1\pm x_2)+\mathrm{i}(y_1\pm y_2)$.

2. 2.

   乘法：$z_1{z}_2=(x_1{x}_2-y_1{y}_2)+\mathrm{i}(x_1{y}_2+x_2{y}_1)$.

3. 3.

   除法：$\frac{z_1}{z_2}=\frac{(x_1{x}_2+y_1{y}_2)+\mathrm{i}(x_2{y}_1-x_1{y}_2)}{x_2^2+y_2^2}$.

1.1.2 共轭复数

性质：

1. 1.

   $z+\bar{z}=2\mathrm{Re}z,z-\bar{z}=2\mathrm{i}\mathrm{Im}z$.

2. 2.

   $\overline{z_1\pm z_2}={\bar{z}}_1\pm {\bar{z}}_2$.

3. 3.

   $\overline{z_1{z}_2}={\bar{z}}_1{\bar{z}}_2,\overline{\frac{z_1}{z_2}}=\frac{{\bar{z}}_1}{{\bar{z}}_2}$.

4. 4.

   ${\left|z\right|}^2=x^2+y^2=z\bar{z}$.

1.1.3 复数的几何表示、模与辐角

1. 1.

   $z=x+\mathrm{i}y=r{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\theta }$，其中$r=\left|z\right|=\sqrt{x^2+y^2},\theta =\mathrm{Arg}z=\arctan \frac{y}{x}$，$\arg z$为辐角主值.

2. 2.

   $\left|z_1{z}_2\right|=\left|z_1\right|\left|z_2\right|,\mathrm{Arg}(z_1{z}_2)=\mathrm{Arg}{z}_1+\mathrm{Arg}{z}_2$.

3. 3.

   Euler公式：${\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\theta }=\cos \theta +\mathrm{i}\sin \theta$.

4. 4.

   不等关系：$\left|x\right|,\left|y\right|⩽\left|z\right|⩽\left|x\right|+\left|y\right|$.

1.1.4 复数的乘方和开方

1. 1.

   乘方：$z^n=r^n{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}n\theta }$.

2. 2.

   de Moive公式：$(\cos \theta +\mathrm{i}\sin \theta {)}^n=\cos n\theta +\mathrm{i}\sin n\theta$.

3. 3.

   开方：$\sqrt{[}n]z=\sqrt{[}n]r\exp \left(\mathrm{i}\frac{\theta +2k\pi }{n}\right)(k=0,1,2,\cdots ,n-1)$.

1.1.5 复数序列的极限、无穷远点

1. 1.

   定义：设$z_1,z_2,\cdots ,z_n,\cdots$是一个复数序列，$z_0$是已知复数，若

   $$\underset{n\to \infty }{\lim }\left|z_n-z_0\right|=0,$$

   则称复数$z_0$是复数列$\{z_n\}$的极限，记作$\underset{n\to \infty }{\lim }{z}_n=z_0$或$z_n\to z_0(n\to \infty )$.

2. 2.

   $\underset{n\to \infty }{\lim }{z}_n=z_9$的两种等价描述：

   1. (1)

      $\underset{n\to \infty }{\lim }{x}_n=x_0,\underset{n\to \infty }{\lim }{y}_n=y_0$.

   2. (2)

      $z_0\ne 0$时，$\underset{n\to \infty }{\lim }\left|z_n\right|=\left|z_0\right|,\underset{n\to \infty }{\lim }\mathrm{Arg}{z}_n=\mathrm{Arg}{z}_0$.

1.2 平面点集

1.2.6 区域与曲线

1. 1.

   区域：具有连通性（$D$中任意两点能用一条全在$D$中的折线相联）的开集$D$. 闭域$\bar{D}=C+D$，其中$C$为$D$的边界.

2. 2.

   Jordan曲线：对于曲线$z(t)(\alpha ⩽t⩽\beta )$，若$\forall t_1,t_2\in (\alpha ,\beta )$当$t_1\ne t_2$时，总有$z(t_1)\ne z(t_2)$，则$z(t)$为Jordan曲线； 若$z(\alpha )=z(\beta )$，则$z(t)$为Jordan闭曲线.

3. 3.

   若区域$D$内任一闭曲线所围成的区域均在$D$内，则$D$为单连通区域； 否则为多连通区域.

2复变数函数

2.1 复变数函数的概念

1. 1.

   定义：设复平面上有点集$E$，对$\forall z\in E$，若总能找到对应的复数$w$，则称在$E$上定义了复变数函数$w=f(z)$.

2. 2.

   多值函数：每个点$z$对应的$w$不止一个的函数.

3. 3.

   一一映照（双方单值映照）：$z_1\ne z_2$时，$w_1\ne w_2$.

2.2 函数极限和连续性

1. 1.

   极限：函数$f(z)$在$0<\left|z-z_0\right|<\rho$内有定义，对$\forall \epsilon >0$，总$\exists \delta >0$，使得当$0>\left|z-z_0\right|<\delta ⩽\rho$时，$\left|f(z)-w_0\right|<\epsilon$，则称$f(z)$当$z$趋于$z_0$时以$w_0$为极限，记作

   $$\underset{z\to z_0}{\lim }f(z)=w_0.$$
2. 2.

   $f(z)$在点$z_0$连续：$\underset{z\to z_0}{\lim }f(z)=f(z_0)$. 等价描述：$u(x,y),v(x,y)$在点$(x_0,y_0)$连续.

2.3 导数和解析函数的概念

1. 1.

   导数：若极限$\underset{\Delta z\to 0}{\lim }\frac{f(z+\Delta z)-f(z)}{\Delta z}$存在，则称$f(z)$在点$z$可导，记作$f^{\prime }(z)$或$\frac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d}z}$.

2. 2.

   $f(z+\Delta z)-f(z)=f^{\prime }(z)\Delta z+o(|\Delta z|)$.

3. 3.

   解析：若$f(z)$在点$z_0$的某个邻域内可微，则称$f(z)$在点$z_0$解析； 不解析的点称为奇点.

2.4 柯西-黎曼方程

1. 1.

   函数$f(z)=u(x,y)+\mathrm{i}v(x,y)$在点$z=x+\mathrm{i}y$可微的充要条件：

   1. (1)

      $u,v$在点$(x,y)$可微.

   2. (2)

      $u,v$在点$(x,y)$满足C-R方程：

      $$\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y},\frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{\partial v}{\partial x}.$$
2. 2.

   导数：$f^{\prime }(z)=\frac{\partial u}{\partial x}+\mathrm{i}\frac{\partial v}{\partial x}\stackrel{\text{C-R方程}}{=}\cdots$.

2.5 初等函数

若$w=f(z)$是区域$D$内的一一解析映照，则称$f(z)$是$D$内的单叶函数，$D$称为其单叶性区域.

2.5.1 幂函数

1. 1.

   常见：$w=z^n(n\in {\mathbb{N}}^{\ast })$.

2. 2.

   变换：角域$\alpha ⩽\arg z⩽\beta \stackrel{w=z^n}{\to }$角域$n\alpha ⩽\arg w⩽n\beta$. 若$\beta -\alpha ⩽\frac{2\pi }{n}$则前一角域为$w=f(z)$的单叶性区域¹.

2.5.2 根式函数

1. 1.

   常见：$w=\sqrt{[}n]z=\sqrt{[}n]r\exp \left(\mathrm{i}\frac{\theta +2k\pi }{n}\right)(n\in {\mathbb{N}}^{\ast },k=0,1,2,\cdots ,n-1)$.

2. 2.

   支点：对某函数$f(z)$而言，在点$z=a$充分小邻域内取闭曲线$C$，当$z$绕$C$一周而使$f(z)$变化时，称$a$为$f(z)$的支点.

3. 3.

   支割线：以$w=\sqrt{[}n]z$为例，其支点为$0,\infty$，则连接0与$\infty$点的“线段”（实为射线）为支割线. 其中一个单值函数称为单值连续分支.

4. 4.

   导数：$\frac{\mathrm{d}{w}_k}{\mathrm{d}z}=\frac{1}{n}{z}^{1/n-1}=\frac{w_k}{nz}$.

2.5.3 指数函数

1. 1.

   定义：初值问题$\frac{\mathrm{d}w}{\mathrm{d}z}=w,w(0)=1$的解.

2. 2.

   性质：

   1. (1)

      $\left|{\mathrm{e}}^z\right|={\mathrm{e}}^x\ne 0$.

   2. (2)

      $\underset{z\to \infty }{\lim }{\mathrm{e}}^z$不存在.

   3. (3)

      ${\mathrm{e}}^z$以$2\pi \mathrm{i}$为周期.

3. 3.

   变换：

   1. (1)

      条形域$a<\mathrm{Im}z<b\stackrel{w={\mathrm{e}}^z}{\to }$角域$a<\arg w<b$.

   2. (2)

      条形域$a<\mathrm{Re}z<b\stackrel{w={\mathrm{e}}^z}{\to }$圆环域${\mathrm{e}}^a<\left|w\right|<{\mathrm{e}}^b$.

2.5.4 对数函数

1. 1.

   定义：$\mathrm{Ln}z=\ln \left|z\right|+\mathrm{i}\mathrm{Arg}z=\ln \left|z\right|+\mathrm{i}\arg z+2k\pi \mathrm{i}(k\in \mathbb{Z})$.

   注

   记$\ln z=\ln \left|z\right|+\mathrm{i}\arg z$为$\mathrm{Ln}z$的主值.

2. 2.

   性质：$\mathrm{Ln}(z_1{z}_2)=\mathrm{Ln}{z}_1+\mathrm{Ln}{z}_2$.

   注

   注意，通常$\mathrm{Ln}z+\mathrm{Ln}z\ne 2\mathrm{Ln}z$，原因是等号前两个$\mathrm{Ln}z$的$k$值可能不同.

3. 3.

   变换：

   1. (1)

      角域$a<\arg z<b\stackrel{w=\mathrm{Ln}z}{\to }$条形域$2k\pi +a<\mathrm{Im}w<2k\pi +b(k\in \mathbb{Z})$，其中$b-a⩽2\pi$.

   2. (2)

      圆环域$0⩽a<\left|z\right|<b\stackrel{w=\mathrm{Ln}z}{\to }$条形域$\ln a<w<\ln b$.

4. 4.

   导数：$\frac{\mathrm{d}w}{\mathrm{d}z}=\frac{1}{z}$.

2.5.5 三角函数

1. 1.

   定义：$\cos z=\frac{{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}z}+{\mathrm{e}}^{-\mathrm{i}z}}{2},\sin z=\frac{{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}z}-{\mathrm{e}}^{-\mathrm{i}z}}{2\mathrm{i}},\tan z=\frac{\sin z}{\cos z}$.

2. 2.

   性质：

   1. (1)

      $\sin z,\cos z$以$2\pi$为周期.

   2. (2)

      $\sin z=0$当且仅当$z_m=m\pi (m\in \mathbb{Z})$，$\cos z=0$当且仅当$z_n=\left(n+\frac{1}{2}\right)\pi (n\in \mathbb{Z})$.

   3. (3)

      $\sin z,\cos z$无界.

3. 3.

   导数：同实数情形.

2.5.6 双曲函数

1. 1.

   定义：$\cosh z=\frac{{\mathrm{e}}^z+{\mathrm{e}}^{-z}}{2},\sinh z=\frac{{\mathrm{e}}^z-{\mathrm{e}}^{-z}}{2},\tanh z=\frac{\sinh z}{\cosh z}$.

2. 2.

   性质：

   1. (1)

      $\sinh z,\cosh z$以$2\pi \mathrm{i}$为周期.

   2. (2)

      $\cos (\mathrm{i}z)=\cosh z,\sin (\mathrm{i}z)=\mathrm{i}\sinh z$.

3. 3.

   导数：同实数情形.

2.5.7 一般幂函数

1. 1.

   定义：对$\forall \alpha \in \mathbb{C}$，$w=z^{\alpha }\stackrel{\Delta }{=}{\mathrm{e}}^{\alpha \mathrm{Ln}z}={\mathrm{e}}^{\alpha [\ln |z|+\mathrm{i}(\arg z+2k\pi )]}(k\in \mathbb{Z})$.

2. 2.

   特殊情形：

   1. (1)

      $\alpha =n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$时，$z^n$为单值函数.

   2. (2)

      $\alpha =\frac{m}{n}\in \mathbb{Q}(m,n\in {\mathbb{N}}^{\ast })$时，$z^{m/n}$可分出$n$个单值连续分支.

   3. (3)

      $\alpha$为无理数或一般复数²时，$z^{\alpha }$是无穷多值的.

3解析函数的积分表示

3.1 复变函数的积分

1. 1.

   定义：${\int }_{C}f(z)\mathrm{d}z\stackrel{\Delta }{=}\underset{\lambda \to 0}{\lim }\sum _{k=1}^{n}f({\zeta }_k)\Delta z_k$，其中$\lambda =\underset{k}{\max }\left|\Delta z_k\right|$.

2. 2.

   两种形式：

   1. (1)

      ${\int }_{C}f(z)\mathrm{d}z={\int }_C(u+\mathrm{i}v)(\mathrm{d}x+\mathrm{id}y)$.

   2. (2)

      ${\int }_{C}f(z)\mathrm{d}z={\int }_a^b{f}^{\prime }(z(t))z^{\prime }(t)\mathrm{d}t$.

3. 3.

   性质：

   1. (1)

      ${\int }_{C^{-}}f(z)\mathrm{d}z=-{\int }_{C}f(z)\mathrm{d}z$.

   2. (2)

      ${\int }_{|z-a|=R}\frac{\mathrm{d}z}{(z-a{)}^n}=\{\begin{array}{ll}2\pi \mathrm{i},& n=1,\\ 0,& n\ne 1.\end{array}$

   3. (3)

      $\left|{\int }_{C}f(z)\mathrm{d}z\right|⩽{\int }_C\left|f(z)\right|\mathrm{d}s$.

   4. (4)

      当$\rho \in {\mathbb{R}}^{+}$充分小时，$f(z)$在圆弧$C_{\rho }:z=a+\rho {\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\theta }(\alpha ⩽\theta ⩽\beta )$上连续，且$\underset{z\to a}{\lim }(z-a)f(z)=k$，那么

      $$\underset{\rho \to 0}{\lim }{\int }_{C_{\rho }}f(z)\mathrm{d}z=\mathrm{i}(\beta -\alpha )k.$$

3.2 柯西积分定理

1. 1.

   Cauchy积分定理：设$D$是由闭路围成的单连通区域，$f(z)$在闭域$C+D$内解析，则${\int }_{C}f(z)\mathrm{d}z$.

2. 2.

   推论：若$f(z)$在单连通域$D$内解析，$C$是自点$z_0$至点$z$的任一曲线，则积分值${\int }_{C}f(z)\mathrm{d}z$仅依赖于起始点$z_0,z$，不依赖路径$C$的选择.

3. 3.

   多连通区域的Cauchy定理：设$f(z)$在闭路$C=C_0+C_1^{-}+C_2^{-}+\cdots +C_n^{-}$围成的多连通域内解析，则${\int }_{C}f(z)\mathrm{d}z=0$或

   $${\int }_{C_0}f(z)\mathrm{d}z={\int }_{C_1}f(z)\mathrm{d}z+{\int }_{C_2}f(z)\mathrm{d}z+\cdots +{\int }_{C_n}f(z)\mathrm{d}z.$$
4. 4.

   对任意包含点$a$的复闭路$C$，${\int }_C\frac{\mathrm{d}z}{(z-a{)}^n}=\{\begin{array}{ll}2\pi \mathrm{i},& n=1,\\ 0,& n\ne 1.\end{array}$

3.3 原函数

1. 1.

   定义：若$f(z)$是单连通域$D$内的解析函数，则对$\forall z_0,z\in D$，$F(z)={\int }_{z_0}^{z}f(z)\mathrm{d}z$在$D$内解析，且$F^{\prime }(z)=f(z)$.

2. 2.

   Newton-Leibniz公式：${\int }_{z_0}^{z}f(z)\mathrm{d}z=F(z)-F(z_0)$.

3. 3.

   若$D$为多连通区域，此变上限积分是一个多值函数，如

   $${\int }_1^z\frac{\mathrm{d}\zeta }{\zeta }=\ln z+2k\pi \mathrm{i}=\mathrm{Ln}z.$$

3.4 柯西积分公式

1. 1.

   Cauchy积分公式：设$f(z)$在闭路$C$及其所围成的区域$D$内解析，则对$\forall z\in D$，

   $$f(z)=\frac{1}{2\pi \mathrm{i}}{\int }_C\frac{f(\zeta )}{\zeta -z}\mathrm{d}\zeta .$$

   进一步，此条件下$f(z)$在$C+D$内的$n$阶导数为

   $$f^{(n)}(z)=\frac{n!}{2\pi \mathrm{i}}{\int }_C\frac{f(\zeta )}{(\zeta -z{)}^{n+1}}\mathrm{d}\zeta .$$

3.5 解析函数的性质

1. 1.

   平均值公式：$f(z)$在闭圆$\left|z-a\right|⩽R$内解析，则$f(z)=\frac{1}{2\pi R}{\int }_{|z-a|=R}f(z)\mathrm{d}s$.

2. 2.

   最大模原理：$f(z)$在闭路$C$及其所围成的区域$D$内连续，在$D$内解析，且$f(z)$不为常数，那么$\left|f(z)\right|$最大值只能在边界$C$上取到. 若对$\forall z\in D$，$f(z)\ne 0$，则$\left|f(z)\right|$最小值也只能在边界$C$上取到.

3. 3.

   Cauchy不等式：$f(z)$在$D$内解析，$D$内圆周$C:\left|z-a\right|⩽R$，记$M(R)=\underset{z\in C}{\max }\left|f(z)\right|$，则

   $$\left|f^{(n)}(a)\right|⩽\frac{n!M(R)}{R^n}.$$
4. 4.

   Liouville定理：如果整函数³在全平面有界，则$f(z)$为常数.

5. 5.

   代数学基本定理：任何复系数多项式必有零点.

6. 6.

   Morera定理：$f(z)$在域$D$中连续，且对任意闭路$C\in D$均有${\int }_{C}f(z)\mathrm{d}z=0$，则$f(z)$在$D$内解析.

4调和函数

4.1 解析函数与调和函数的关系

1. 1.

   共轭调和函数：满足C-R方程的一对调和函数.

2. 2.

   共轭调和函数$u,v$的等值曲线族$u(x,y)=C_1,v(x,y)=C_2$在交点处正交.

3. 3.

   若已知$u(x,y)$，则$v(x,y)={\int }_{(x_0,y_0)}^{(x,y)}-\frac{\partial u}{\partial y}\mathrm{d}x+\frac{\partial u}{\partial x}\mathrm{d}y+v(x_0,y_0)$.

4. 4.

   $\Delta u=\Delta v=\nabla u\cdot \nabla v={\left|\nabla u\right|}^2-{\left|\nabla v\right|}^2=0$.

4.2 调和函数的性质和狄利克雷问题

1. 1.

   平均值定理：$u(z)$是闭圆$\bar{D}:\left|z-z_0\right|⩽R$内的调和函数，则$u(z)=\frac{1}{2\pi R}{\int }_{C}u(z)\mathrm{d}s$，其中$C$为$\bar{D}$的边界.

2. 2.

   极值原理：$u(z)$在有界域$D$内为调和函数，在$C+D$内解析，且$u(z)$不为常数，那么$u(z)$在边界$C$上取到最值.

3. 3.

   Poisson积分公式：$u(z)$是闭圆$\bar{D}:\left|z-z_0\right|⩽R$上的调和函数，则对$z=z_0+r{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\phi }(r<R)$，有

   $$u(r,\phi )=\frac{1}{2\pi }{\int }_0^{2\pi }u(R,\theta )\frac{R^2-r^2}{R^2-2Rr\cos (\theta -\phi )+r^2}\mathrm{d}\theta .$$

   这说明若已知一闭圆内调和函数在圆周上的值，则函数在圆内的值被唯一确定.

4. 4.

   $u_1(z),u_2(z)$在有界域$D$内调和，在有界闭域$\bar{D}=C+D$上解析，若在$C$上满足$\left|u_1(z)-u_2(z)\right|⩽\epsilon$，则在$\bar{D}$内也有$\left|u_1(z)-u_2(z)\right|⩽\epsilon$. 应用：如稳定温度场（可证为调和场）外围测量温度误差不超过$\epsilon$，则内部温度测量误差也不超过$\epsilon$.

5解析函数的级数展开

5.1 复级数的基本性质

5.1.1 复数项级数

1. 1.

   复数项无穷级数：$\sum _{k=1}^{\infty }{z}_k=z_1+z_2+\cdots +z_n+\cdots$.

2. 2.

   收敛：部分和$S_n=\sum _{k=1}^n{z}_k$存在极限. 等价描述：$\sum _{k=1}^{\infty }{x}_k,\sum _{k=1}^{\infty }{y}_k$均收敛.

3. 3.

   Cauchy收敛准则：对$\forall \epsilon >0$，总$\exists N(\epsilon )\in {\mathbb{N}}^{\ast }$，使得当$n>N,p\in {\mathbb{N}}^{\ast }$时，满足

   $$\left|S_{n+p}-S_n\right|=\left|z_{n+1}+z_{n+2}+\cdots +z_{n+p}\right|<\epsilon .$$

   收敛的必要条件：$\underset{n\to \infty }{\lim }{z}_n=0$.

4. 4.

   绝对收敛：$\sum _{k=1}^{\infty }\left|z_k\right|=\left|z_1\right|+\left|z_2\right|+\cdots +\left|z_n\right|+\cdots$收敛. 等价描述：$\sum _{k=1}^{\infty }{x}_k,\sum _{k=1}^{\infty }{y}_k$均绝对收敛.

5. 5.

   绝对收敛性质：

   1. (1)

      级数各项可重排次序，其和不变.

   2. (2)

      记$\sum _{k=1}^{\infty }{z}_{1k}=A,\sum _{k=1}^{\infty }{z}_{2k}=B$，且

      $$z_k=z_{11}{z}_{2k}+z_{12}{z}_{2,k-1}+\cdots +z_{1k}{z}_{21},$$

      那么

      $$\left(\sum _{k=1}^{\infty }{z}_{1k}\right)\left(\sum _{k=1}^{\infty }{z}_{2k}\right)=\sum _{k=1}^{\infty }{z}_k=AB.$$

5.1.2 复变函数项级数

1. 1.

   复变函数项级数：$\sum _{k=1}^{\infty }{f}_k(z)=f_1(z)+f_2(z)+\cdots +f_n(z)+\cdots$.

2. 2.

   一致收敛：部分和$S_n(z)=\sum _{k=1}^n{f}_k(z)$，若对$\forall \epsilon >0$，总存在与$z$无关的$N(\epsilon )\in {\mathbb{N}}^{\ast }$，使得当$n>N(\epsilon )$时，满足$\left|S_n(z)-f(z)\right|<\epsilon$，则称该级数一致收敛于$f(z)$.

3. 3.

   Cauchy一致收敛准则：基本同复数项级数.

4. 4.

   Weierstrass判别法：若对$\forall z\in E$均有$\left|f_k(z)\right|⩽M_k(k=1,2,\cdots )$且$\sum _{k=1}^{\infty }{M}_k$收敛，则$\sum _{k=1}^{\infty }{f}_k(z)$在$E$上绝对一致收敛.

5. 5.

   一致收敛级数性质：连续性、可积性、可导性（此处要求解析）.

5.2 幂级数

1. 1.

   定义：$\sum _{n=0}^{\infty }{a}_n(z-a{)}^n$.

2. 2.

   Abel定理：

   1. (1)

      幂级数在点$z_0(\ne a)$收敛$⟹$幂级数在圆域$\left|z-a\right|<\left|z_0-a\right|$内绝对收敛，在闭圆域$\left|z-a\right|⩽\rho <\left|z_0-a\right|$内一致收敛.

   2. (2)

      幂级数在点$z_0$发散$⟹$幂级数在圆外域$\left|z-a\right|>\left|z_0-a\right|$内发散.

3. 3.

   设幂级数收敛半径为$R$，则其在$\left|z-a\right|<R$内绝对收敛，在$\left|z-a\right|>R$内处处发散.

4. 4.

   收敛半径：$\frac{1}{R}=\underset{n\to \infty }{\lim }\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=\underset{n\to \infty }{\lim }\sqrt{[}n]|a_n|$.

5. 5.

   性质：

   1. (1)

      和函数$f(z)=\sum _{n=0}^{\infty }{a}_n(z-a{)}^n$在$\left|z-a\right|<R$内解析，且

      $$f^{(k)}(z)=\sum _{n=k}^{\infty }n(n-1)\cdots (n-k+1)a_n(z-a{)}^{n-k}=\sum _{n=0}^{\infty }\frac{(n+k)!}{n!}{a}_{n+k}(z-a{)}^n.$$
   2. (2)

      $a_k=\frac{f^{(k)}(a)}{k!}.$

5.3 解析函数的泰勒展开

1. 1.

   Taylor展开收敛域：函数$f(z)$在点$a$解析，若以点$a$为中心作一个圆，让圆的半径不断扩大直至碰上第一个奇点$a^{\prime }$，则$R=|a^{\prime }-a|$，且$f(z)$在$\left|z-a\right|<R$内可展开成Taylor级数$f(z)=\sum _{n=0}^{\infty }{a}_n(z-a{)}^n$，其中$a_n=\frac{f^{(n)}(a)}{n!}$.

2. 2.

   Taylor展开式唯一.

3. 3.

   $f(z)$在$D$内解析的充要条件：$f(z)$能在$D$内任一点$a$可以展开成$(z-a)$的幂级数.

   注

   目前$f(z)$在$D$内解析的3个等价描述：$\{\begin{array}{l}\text{C-R方程}\\ \text{Cauchy积分定理与Morera定理}\\ \text{Taylor展开}\end{array}$

4. 4.

   常用Taylor展开：

   $${\mathrm{e}}^z=\sum _{n=0}^{\infty }\frac{z^n}{n!}=1+z+\frac{z^2}{2!}+\cdots ,$$

   $$\cos z=\sum _{n=0}^{\infty }\frac{(-1{)}^n}{(2n)!}{z}^{2n}=1-\frac{z^2}{2!}+\frac{z^4}{4!}-\cdots ,$$

   $$\sin z=\sum _{n=0}^{\infty }\frac{(-1{)}^n}{(2n+1)!}{z}^{2n+1}=z-\frac{z^3}{3!}+\frac{z^5}{5!}-\cdots ,$$

   $$\frac{1}{1-z}=\sum _{n=0}^{\infty }{z}^n=1+z+z^2+\cdots (\left|z\right|<1),$$

   $${\mathrm{Ln}}_k(1+z)=2k\pi \mathrm{i}+\sum _{n=0}^{\infty }\frac{(-1{)}^n}{n}{z}^n(\left|z\right|<1).$$
   注

   求Taylor展开的两个技巧：

   1. (1)

      对于$\frac{1}{(1-z{)}^{n+1}},\frac{z}{(z^2+a^2{)}^2}$等类型的函数，可变形为$\frac{1}{n!}\frac{{\mathrm{d}}^n}{\mathrm{d}{z}^n}\left(\frac{1}{1-z}\right),-\frac{1}{2}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}z}\left(\frac{1}{z^2+a^2}\right)$，将被求导函数作展开后再求导.

   2. (2)

      对于$f(z)=\frac{{\mathrm{e}}^z}{\tan z}$等初等函数复合的函数，可设展开后$f(z)=\sum _{n=0}^{\infty }{a}_n(z-a{)}^n$，再考虑${\mathrm{e}}^z=f(z)\tan z$的前若干项展开. 这里要求$f(z)$绝对收敛.

5. 5.

   点$z_0$是$f(z)$的$m$阶零点的2个等价描述：

   1. (1)

      $f(z_0)=f^{\prime }(z_0)=\cdots =f^{(m-1)}(z_0)=0,f^{(m)}(z_0)\ne 0$.

   2. (2)

      在点$z_0$附近有$f(z)=(z-z_0{)}^{m}g(z)$，其中$g(z)$在点$z_0$解析且$g(z_0)\ne 0$.

5.4 罗朗级数

1. 1.

   定义：

   $$\sum _{n=-\infty }^{\infty }{a}_n(z-a{)}^n=\sum _{n=-\infty }^{-1}{a}_n(z-a{)}^n+\sum _{n=0}^{\infty }{a}_n(z-a{)}^n$$

   $$=\sum _{n=-1}^{\infty }\frac{a_{-n}}{(z-a{)}^n}+\sum _{n=0}^{\infty }{a}_n(z-a{)}^n.$$
2. 2.

   收敛半径：$r<\left|z-a\right|<R$，其中$r,R$分别为主要部分（带负幂次项）、正则部分（幂级数项）的收敛半径.

3. 3.

   系数确定：$a_n=\frac{1}{2\pi \mathrm{i}}{\int }_C\frac{f(\zeta )}{(\zeta -a{)}^{n+1}}\mathrm{d}\zeta (n\in \mathbb{Z})$，其中$C$为$D$内闭路.

4. 4.

   系数唯一性：利用积分${\int }_C\frac{\mathrm{d}\zeta }{(\zeta -a{)}^n}=\{\begin{array}{ll}2\pi \mathrm{i},& n=1,\\ 0,& n\ne 1.\end{array}$的正交性可证.

5.5 解析函数的孤立奇点

1. 1.

   孤立奇点：函数$f(z)$在点$a$的某个邻域$\left|z-a\right|<\rho$内除$a$点外均解析，则称$a$为$f(z)$的孤立奇点.

   注

   $\infty$点并非$\tan z$的孤立奇点，因其奇点为$a_n=\left(n+\frac{1}{2}\right)\pi (n\in \mathbb{Z})$，对于$\infty$点的任一邻域，均存在绝对值足够大的整数$N$，使得$a_N$被包含在内.

2. 2.

   分类：

   1. (1)

      可去奇点：

      1. i.

         $f(z)$在环域$0<\left|z-a\right|<\rho$内有界.

      2. ii.

         $\underset{z\to a}{\lim }f(z)=a_0$（有限）.

   2. (2)

      $m$级极点：

      1. i.

         $f(z)=\frac{\phi (z)}{(z-a{)}^m}$，其中$\phi (z)$在点$a$的邻域内解析且$\phi (a)\ne 0$⁴.

      2. ii.

         $a$是函数$1/f(z)$的$m$级零点⁵.

   3. (3)

      本性奇点：

      1. i.

         Laurent展开中的主要部分有无穷多项.

      2. ii.

         $\underset{z\to a}{\lim }f(z)$不存在.

   4. (4)

      $a$是$f(z)$的解析点和$g(z)$的本性奇点，则$a$是$f(z)g(z),\frac{f(z)}{g(z)},\frac{g(z)}{f(z)}$的本性奇点. 特别地，若$a$是$f(z)$的本性奇点，则$a$也是$1/f(z)$的本性奇点.

   5. (5)

      对于$\infty$点，作代换$\zeta =1/z$，类似可研究$\zeta =0$处奇点种类.

6留数及其应用

6.1 留数定理

1. 1.

   留数：$\mathrm{Res}\left[f(z,a)\right]=\frac{1}{2\pi \mathrm{i}}{\int }_{C}f(z)\mathrm{d}z$.

2. 2.

   留数定理：$f(z)$在闭路$C$所围闭域内除去$a_1,a_2,\cdots ,a_n$均解析，则

   $${\int }_{C}f(z)\mathrm{d}z=2\pi \mathrm{i}\sum _{k=1}^n\mathrm{Res}\left[f(z),a_k\right].$$
3. 3.

   $\mathrm{Res}\left[f(z),a\right]=a_{-1}$，其中$a_{-1}$为Laurent展开中$(z-a{)}^{-1}$的系数⁶.

4. 4.

   当$a$为$f(z)$的$m$级极点时，$\mathrm{Res}\left[f(z),a\right]=\frac{1}{(m-1)!}\underset{z\to a}{\lim }\frac{{\mathrm{d}}^{m-1}}{\mathrm{d}{z}^{m-1}}\left[(z-a{)}^{m}f(z)\right]$. 特别地，当$m=1$时，$\mathrm{Res}\left[f(z),a\right]=\underset{z\to a}{\lim }(z-a)f(z)$.

5. 5.

   设$P(z),Q(z)$在点$a$解析，且$P(a)\ne 0,Q(a)=0,Q^{\prime }(a)\ne 0$，则$\mathrm{Res}\left[f(z),a\right]=\frac{P(a)}{Q^{\prime }(a)}$.

6.2 积分计算

6.2.1 ${\int }_0^{2\pi }R(\cos \theta ,\sin \theta )\mathrm{d}\theta$型积分

记$z={\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\theta }$，则

6.2.2 有理函数的积分${\int }_{-\infty }^{\infty }R(x)\mathrm{d}x$

设$R(x)=\frac{P(x)}{Q(x)}$为有理函数的比值，假定$Q(x)$在实轴上无零点$Q(x)$比$P(x)$高两次，则

其中$a_k(k=1,2,\cdots ,n)$为$R(z)$在上半平面的奇点. 三个引理：

1. 1.

   $f(z)$在圆弧$C_R:z=R{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\theta }(\alpha ⩽\theta ⩽\beta )$上连续，若$\underset{z\to \infty }{\lim }zf(z)=0$，则

   $$\underset{R\to \infty }{\lim }{\int }_{C_R}f(z)\mathrm{d}z=0.$$
2. 2.

   $f(z)$在圆弧$C_{\rho }:z=a+\rho {\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\theta }(\alpha ⩽\theta ⩽\beta )$上连续，若$\underset{z\to a}{\lim }(z-a)f(z)=k$，则

   $$\underset{\rho \to 0}{\lim }{\int }_{C_{\rho }}f(z)\mathrm{d}z=\mathrm{i}(\beta -\alpha )k.$$

   特别地，若点$a$为$f(z)$的1级极点，则$\underset{\rho \to 0}{\lim }{\int }_{C_{\rho }}f(z)\mathrm{d}z=\mathrm{i}(\beta -\alpha )\mathrm{Res}\left[f(z),a\right]$.

3. 3.

   Jordan引理：$g(z)$在圆弧$C_R:\left|z\right|=R,\mathrm{Im}z>-a(a>0)$上连续，且$\underset{z\to \infty }{\lim }g(z)=0$，则对$\forall \lambda >0$，均有

   $$\underset{R\to \infty }{\lim }{\int }_{C_R}g(z){\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\lambda z}\mathrm{d}z=0.$$

6.2.3 $I_1={\int }_{-\infty }^{\infty }R(x)\cos mx\mathrm{d}x$及$I_2={\int }_{-\infty }^{\infty }R(x)\sin mx\mathrm{d}x,m>0$型积分

设$R(z)$是有理函数，分母比分子至少高一次且在实轴上有单极点$x_1,x_2,\cdots ,x_m$，则

6.2.4 杂例

辅助函数的$F(z)$选取原则：$z=x$时，$F(x)=f(x)$，或$\mathrm{Re}F(x)=f(x)$，或$\mathrm{Im}F(x)=f(x)$.

1. 1.

   $I={\int }_0^{\infty }\frac{\cos x-{\mathrm{e}}^{-x}}{x}\mathrm{d}x$.

2. 2.

   ${\int }_0^{\infty }\cos x^2\mathrm{d}x,{\int }_0^{\infty }\sin x^2\mathrm{d}x$.

3. 3.

   $I={\int }_0^{\infty }{\mathrm{e}}^{-a{x}^2}\cos bx\mathrm{d}x(a>0)$.