25春-第4次习题课

1知识回顾

1.1 空间解析几何

这一章就考试而言并不是重点，但关键在于通过对高中向量知识的补充深入奠定后续曲面积分章节的学习，是承前启后的一章.

1. 向量的基本运算

1. 1.

   点乘定义为

   $$\mathbf{a}\cdot \mathbf{b}=\left|\mathbf{a}\right|\left|\mathbf{b}\right|\cos \theta (\mathbf{a},\mathbf{b}),$$

   (1.1)

   叉乘$\mathbf{a}\times \mathbf{b}$产生一个由右手法则确定方向、大小为

   $$\left|\mathbf{a}\times \mathbf{b}\right|=\left|\mathbf{a}\right|\left|\mathbf{b}\right|\sin \theta (\mathbf{a},\mathbf{b})$$

   (1.2)

   的向量. 其中值得强调的是叉乘的反对称性：$\mathbf{a}\times \mathbf{b}=-\mathbf{b}\times \mathbf{a}$.

2. 2.

   在平面直角坐标系下，设$\mathbf{a}=(x_1,y_1,z_1),\mathbf{b}=(x_2,y_2,z_2)$，则

   $$\mathbf{a}\cdot \mathbf{b}=x_1{x}_2+y_1{y}_2+z_1{z}_2,\mathbf{a}\times \mathbf{b}=\left|\begin{array}{c}\hat{\mathbf{x}}\hat{\mathbf{y}}\hat{\mathbf{z}}\\ x_1{y}_1{z}_1\\ x_2{y}_2{z}_2\end{array}\right|.$$

   (1.3)
3. 3.

   $\mathbf{a},\mathbf{b}$共线的充要条件：$\mathbf{a}\times \mathbf{b}=0$. $\mathbf{a},\mathbf{b},\mathbf{c}$共面的充要条件：$(\mathbf{a}\times \mathbf{b})\cdot \mathbf{c}=0$.

2. 平面方程的构建

常见的构建方式有三种：

1. 1.

   截距式. 简单易懂，无需额外说明.

2. 2.

   构建平面法向量$\mathbf{n}$. 这是最常遇到的情况，后续利用点法式可以给出平面方程. $\mathbf{n}$的获得最常见的思路是想方设法找到该平面上的两个向量，利用叉乘构建.

3. 3.

   绕过定直线的平面. 若该直线给的是交面式

   $$A_{i}x+B_{i}y+C_{i}z+D_i=0,i=1,2.$$

   (1.4)

   这是最理想的情况. 由于直线上的点分别满足平面方程所要求的线性关系，因此这样的点也必然满足两个线性关系的线性叠加，因此绕该直线的平面可设为

   $$(A_1+\lambda A_2)x+(B_1+\lambda B_2)y+(C_1+\lambda C_2)z+(D_1+\lambda D_2)=0,$$

   (1.5)

   其中$\lambda$可取到$\infty$. 若该直线给的是点向式，则可利用“化归”的思想，利用参数式构造两个平面方程即可.

3. 直线方程的构建

空间直线方程的构建就比较简单直白了，特征量就是方向向量，比较常见的是找到直线某一法平面内两个向量，利用叉乘构建. 当然，对于存在绕定直线的平面时，有时也会使用表达更简便的交面式.

4. 空间中的位置关系

1. 1.

   对于平面，其位置关系无非相交（正交为特殊情形）、平行、重合，最后一种过于trivial不予讨论. 平行对应于${\mathbf{n}}_1//{\mathbf{n}}_2$，不平行不重合即相交，正交对应于${\mathbf{n}}_1\cdot {\mathbf{n}}_2=0$。

   特别地，对于处于角平分线上的平面，可将法向量单位化为${\mathbf{n}}_1^{\prime },{\mathbf{n}}_2^{\prime }$，则该平面的法向量为${\mathbf{n}}_1^{\prime }\pm {\mathbf{n}}_2^{\prime }$，直线类似.

2. 2.

   对于直线，位置关系稍显复杂，有相交、平行、重合、异面. 平行对应于${\mathbf{\tau }}_1//{\mathbf{\tau }}_2$，后三者的区别仅在于方程是否有唯一解¹.

3. 3.

   对于直线与平面，无非相交、平行、包含三种关系. 平行对应于$\mathbf{n}\cdot \mathbf{\tau }=0$；包含对应于在平行的基础上任取直线上一点，验证其在平面上；除此之外为相交，特别地，正交满足$\mathbf{n}//\mathbf{\tau }$.

5. 空间中的距离计算

距离公式本质上来源于$d=\left|\stackrel{⟶}{P_{0}P}\cdot \mathbf{n}\right|/\left|\mathbf{n}\right|$和$d=\left|\stackrel{⟶}{P_{0}P}\times \mathbf{\tau }\right|/\left|\mathbf{\tau }\right|$，两者分别是对于平面和直线而言的.

1. 1.

   两点间的距离公式：trivial.

2. 2.

   点$P_0(x_0,y_0,z_0)$到平面$Ax+By+Cz+D=0$的距离：取平面上任一点$P(x,y,z)$，利用第一个公式可计算得

   $$d=\frac{\left|A(x-x_0)+B(y-y_0)+C(z-z_0)\right|}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}=\frac{\left|A{x}_0+B{y}_0+C{z}_0+D\right|}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}.$$

   (1.6)
3. 3.

   点$P_0(x_0^{\prime },y_0^{\prime },z_0^{\prime })$到直线$\frac{x-x_0}{l}=\frac{y-y_0}{m}=\frac{z-z_0}{n}$的距离：取直线上任一点$P(x,y,z)$，利用第二个公式可计算得

   $$d=\frac{\left|(x-x_0^{\prime },y-y_0^{\prime },z-z_0^{\prime })\right|\times (l,m,n)}{\sqrt{l^2+m^2+n^2}}=\frac{\left|(x_0-x_0^{\prime },y_0-y_0^{\prime },z_0-z_0^{\prime })\times (l,m,n)\right|}{\sqrt{l^2+m^2+n^2}}.$$

   (1.7)
4. 4.

   两平行平面${\pi }_i:Ax+By+Cz+D_i=0(i=1,2)$的距离公式：可取${\pi }_1$上一点$P_0(x_0,y_0,z_0)$，则化为点到平面的距离，即

   $$d=\frac{\left|A{x}_0+B{y}_0+C{z}_0+D_2\right|}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}=\frac{\left|D_2-D_1\right|}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}.$$

   (1.8)
5. 5.

   两平行直线$l_i:\frac{x-x_i}{l}=\frac{y-y_i}{m}=\frac{z-z_i}{n}$间的距离：可取$l_1$上一点$P_1(x_1,y_1,z_2)$，则化为点到直线的距离，即

   $$d=\frac{\left|(x_1-x_2,y_1-y_2,z_1-z_2)\times (l,m,n)\right|}{\sqrt{l^2+m^2+n^2}}.$$

   (1.9)
6. 6.

   异面直线间的最短距离：两直线最短距离的方向必然与两者均垂直，首先利用方向向量的叉乘构造这一方向$\mathbf{n}={\mathbf{\tau }}_1\times {\mathbf{\tau }}_2$. 再于两直线上各取一点，通常直接取点向式中给出的点$P_1(x_1,y_1,z_1)$和$P_2(x_2,y_2,z_2)$，利用第一个公式可计算得

   $$d=\frac{\left|\stackrel{⟶}{P_1{P}_2}\cdot \mathbf{n}\right|}{\left|\mathbf{n}\right|}=\frac{\left|({\mathbf{\tau }}_1\times {\mathbf{\tau }}_2)\cdot (x_1-x_2,y_1-y_2,z_1-z_2)\right|}{\left|({\mathbf{\tau }}_1\times {\mathbf{\tau }}_2)\right|}.$$

   (1.10)

6. 常见二次曲面的识别

识别的方式通常为某一坐标取定值（相当于用平行于坐标平面的平面去截取曲面），判断各截面交线的形状.

1. 1.

   柱面：在应试中出现基本上是母线平行于坐标轴的情形，trivial.

2. 2.

   锥面：在应试中基本以$z^2=x^2+y^2$或$z=(\pm )\sqrt{x^2+y^2}$的形式出现，trivial.

3. 3.

   旋转曲面：某两个分量仅有二次项，且二次项系数相等，具体原因见旋转曲面的构建小小节.

4. 4.

   椭球面：$x^2/a^2+y^2/b^2+z^2/c^2=1$.

5. 5.

   双曲面：$x^2/a^2+y^2/b^2-z^2/c^2=\pm 1$，其中单叶和双叶分别对应于$+1$和$-1$. 一个比较简单的区分方法是，分别取$x,y,z$为零，单叶双曲面始终与坐标平面有交线，而双叶双曲面与其一坐标平面不相交（实际上对应这里的负项$-z^2/c^2$）.

6. 6.

   椭圆抛物面：$z=x^2/a^2+y^2/b^2$.

7. 7.

   双曲抛物面：$z=x^2/a^2-y^2/b^2$.

7. 旋转曲面的构建²

核心思路是，取转动轴的某一法平面，则对于旋转曲面上任一点$P(x,y,z)$，其应当满足两个条件： (1) 点$P$在该平面上；(2) 记该平面与用于旋转的曲面交于$P_0(x_0,y_0,z_0)$，则$P$与$P_0$到旋转轴的距离相等. 原本空间坐标有3个自由度，引入法平面沿旋转轴滑移的自由度，再消去两个约束条件减少的自由度，最终根据这两个条件列出的方程组应当有2个自由度，符合空间曲面的自由度要求，条件完备.

1.2 多变量函数的微分学

尽管整个数学分析B2中更强调计算，这一章仍有不少繁杂困难的证明（相信大家在学单变量微分学的时候就感受到了），尤其是在期中考试里这部分占比会很大. 当然，抛开应试，本章本身就是相当重要的，含参变量积分的计算就是依托于此的，空间曲线切向量与空间曲面法向量的计算以及矢量场的微分更是曲面积分这一章的核心基础. 这对于对于物理学院的学生更是如此，掌握好偏微分能在理论力学课程中轻松不少，熟悉场论的梯度、散度、旋度能让你在电动力学课程中游刃有余. 总之这一章的实用性是非常强的，希望同学们能在这里多下点功夫，对相关定理与常用结论（不过不用太纠结于证明）要有清晰的印象.

1. 函数的极限与连续性

当然，一般要用$\epsilon$-$\delta$语言证明极限存在时，通常用后者，因为接近线性的运算通常要来得更简单. 并且要注意区分极限和累次极限$\underset{y\to y_0}{\lim }\underset{x\to x_0}{\lim }f(x,y)$，这在之后的重积分和累次积分中同样会遇到类似的问题，容易想到的例子如$x/y$在原点的极限.

2. 偏导数与可微性

若$f(x,y)\in C^n(D)$，则$f(x,y)$在$D$中$n$阶偏导可交换.

3. 方向导数与梯度

几何上，方向导数即$f(x,y)$在$M_0$点沿$\mathbf{l}$方向的单位增长率. 换言之，沿$\mathbf{l}$方向增量$\Delta f$有多大，取决于方向导数与增量$t$的乘积.

梯度方向即$f(x,y)$增长率（绝对值）最高的方向，因为$\left|\frac{\partial f}{\partial \mathbf{l}}\right|⩽\left|\nabla f\right|$恒成立. 另外，$\nabla \cdot$表示对向量场的散度，$\nabla \times$表示对向量场的旋度，当然这是后话了. Nabla算子对标量场的作用满足Leibniz法则：

4. 梯度算符在不同（空间）坐标系下的表示

首先应当明确的一点是，无论是Nabla还是Laplacian，其本身都是不依赖于坐标系的存在，以下公式只是在具体坐标系下对该算符进行展开表示. 这是容易理解的，因为算符作用的对象是不依赖于坐标系的标量场、向量场或张量场，作用的结果也是不依赖于坐标系的标量场、向量场或张量场，因此算符本身也是不依赖于坐标系的.

1. 1.

   直角坐标系：结合Einstein求和约定，Nabla可写为

   $$\nabla ={\hat{\mathbf{x}}}_1\frac{\partial }{\partial x_1}+{\hat{\mathbf{x}}}_2\frac{\partial }{\partial x_2}+{\hat{\mathbf{x}}}_3\frac{\partial }{\partial x_3}={\hat{\mathbf{x}}}_i{\partial }_i,$$

   (1.18)

   相应地，拉普拉斯算符(Laplacian)为

   $${\nabla }^2=\nabla \cdot \nabla =({\hat{\mathbf{x}}}_i\cdot {\hat{\mathbf{x}}}_j)({\partial }_i{\partial }_j)={\partial }_1^2+{\partial }_2^2+{\partial }_3^2.$$

   (1.19)
2. 2.

   柱坐标系：

   $$\nabla =\hat{\mathbf{\rho }}{\partial }_{\rho }+\frac{\hat{\mathbf{\phi }}}{\rho }{\partial }_{\phi }+\hat{\mathbf{z}}{\partial }_z.$$

   (1.20)
   注

   在一般的正交曲线坐标系中，对某坐标的导数作用在坐标基矢上的结果可能是非零的. 以柱坐标基矢为例，对其直角坐标表示进行微分：

   $${\partial }_{\phi }\hat{\rho }={\partial }_{\phi }(\cos \phi ,\sin \phi ,0)=(-\sin \phi ,\cos \phi ,0)=\hat{\phi },$$

   (1.21)

   $${\partial }_{\phi }\hat{\phi }={\partial }_{\phi }(-\sin \phi ,\cos \phi ,0)=-(\cos \phi ,\sin \phi ,0)=\hat{\rho }.$$

   (1.22)

   因此这里给出的算子表示中，坐标基矢与求导顺序是绝对不可交换的. 当然，这在物理上采用运动学描述（或者数学上的几何观点）是更形象直观、更容易理解的，也避免了公式推导和记忆.

   同样给出Laplacian：

   $${\nabla }^2=\frac{1}{\rho }{\partial }_{\rho }(\rho {\partial }_{\rho }f)+\frac{1}{{\rho }^2}{\partial }_{\phi }^{2}f+{\partial }_z^{2}f.$$

   (1.23)
3. 3.

   球坐标系：

   $$\nabla =\hat{\mathbf{r}}{\partial }_r+\frac{\hat{\mathbf{\theta }}}{r}{\partial }_{\theta }+\frac{\hat{\mathbf{\phi }}}{r\sin \theta }{\partial }_{\phi },$$

   (1.24)

   其Laplacian为

   $${\nabla }^2=\frac{1}{r^2}{\partial }_r(r^2{\partial }_{r}f)+\frac{1}{r^2\sin \theta }{\partial }_{\theta }(\sin \theta {\partial }_{\theta }f)+\frac{1}{r^2{\sin }^2\theta }{\partial }_{\phi }^{2}f.$$

   (1.25)

5. 向量场的微分

设$\mathbf{A}(t)=(A_x(t),A_y(t),A_z(t))$，则

当然，这里$t$可以取坐标$x,y,z$. 向量值函数的运算仍满足Leibniz法则：

特别地，若$\mathbf{A}(t)=\mathbf{r}(t)$，则该向量场即一空间曲线，几何上看，参数$t$相当于质点从曲线上某一点出发、沿该曲线向前走过的路程.

若$\mathbf{A}=\mathbf{A}(u,v)$，仿上可定义偏导数，类似地$\mathbf{r}(u,v)$表示空间曲面.

6. Jacobi矩阵与Jacobi行列式

1. 1.

   考虑从$\mathbf{x}=(x_1,\cdots ,x_n)$到$\mathbf{y}=(y_1,\cdots ,y_n)$的变换，有

   $$\mathrm{d}{y}_i=\sum _{j=1}^n\frac{\partial y_i}{\partial x_j}\mathrm{d}{x}_j⟹\left(\begin{array}{c}\mathrm{d}{y}_1\\ ⋮\\ \mathrm{d}{y}_n\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}{\partial }_{x_1}{y}_1\cdots {\partial }_{x_n}{y}_1\\ ⋮\ddots ⋮\\ {\partial }_{x_n}{y}_1\cdots {\partial }_{x_n}{y}_n\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}\mathrm{d}{x}_1\\ ⋮\\ \mathrm{d}{x}_n\end{array}\right),$$

   (1.30)

   其中变换矩阵定义为Jacobi矩阵，记为${\mathbf{J}}_{\mathbf{x}}(\mathbf{y})$，Jacobi行列式即$\det {\mathbf{J}}_{\mathbf{x}}(\mathbf{y})$.

2. 2.

   常在重积分中利用二元和三元的Jacobi行列式，即

   $$\mathrm{d}u\mathrm{d}v=\frac{\partial (u,v)}{\partial (x,y)}\mathrm{d}x\mathrm{d}y,\mathrm{d}u\mathrm{d}v\mathrm{d}w=\frac{\partial (u,v,w)}{\partial (x,y,z)}\mathrm{d}x\mathrm{d}y.$$

   (1.31)

   同学们可以试试将柱坐标和球坐标三个坐标分别代入$(u,v,w)$，可得到柱坐标和球坐标下的体积元.

3. 3.

   Jacobi行列式的链式法则³：

   $$\frac{\partial (\xi ,\eta )}{\partial (x,y)}=\frac{\partial (\xi ,\eta )}{\partial (u,v)}\frac{\partial (u,v)}{\partial (x,y)}.$$

   (1.32)

7. 隐函数偏导数的计算

1. 1.

   对于满足单一约束条件$F(x_1,\cdots ,x_n)=0$的变量组来说，若偏导数存在，则

   $$\frac{\partial x_i}{\partial x_j}=-\frac{{\partial }_{i}F}{{\partial }_{i}F},i\ne j.$$

   (1.33)
2. 2.

   对于多约束的情况，在应试中至多出现双重约束的情形：$\{\begin{array}{l}F(x,y,u,v)=0,\\ G(x,y,u,v)=0.\end{array}$若计算$u_x,u_v$，则选取$u$与其他任一变量作为因变量（这里选择$v$），对另外两个（自）变量求偏导即可：

   $$\{\begin{array}{l}{F}_x+F_u{u}_x+F_v{v}_x=0,\\ G_x+G_u{u}_x+G_v{v}_x=0,\end{array}\{\begin{array}{l}{F}_y+F_u{u}_y+F_v{v}_y=0,\\ G_y+G_u{u}_y+G_v{v}_y=0,\end{array}$$

   (1.34)

   利用此方程组分别解出$u_x,u_v$即可（这里不建议记书上的公式）.

   注

   需要注意的是，若计算$\mathrm{d}u$或$u_x,u_v$都需要计算的话，应将$\mathrm{d}u$视为一个整体，对方程组取微分即可：

   $$\{\begin{array}{l}{F}_x\mathrm{d}x+F_y\mathrm{d}y+F_u\mathrm{d}u+F_v\mathrm{d}v=0,\\ G_x\mathrm{d}x+G_y\mathrm{d}y+G_u\mathrm{d}u+G_v\mathrm{d}v=0,\end{array}$$

   (1.35)

   整体地计算出$\mathrm{d}u$而不必拆成偏导分别计算两次.

3. 3.

   两个常用的偏微分公式（利用隐函数求导法则容易证明）：

   $$\frac{\partial y}{\partial x}\frac{\partial x}{\partial y}=1,\frac{\partial z}{\partial y}\frac{\partial y}{\partial x}\frac{\partial x}{\partial z}=-1\iff \frac{\partial z}{\partial x}=-\frac{\partial z}{\partial y}\frac{\partial y}{\partial x}.$$

   (1.36)

8. 空间曲线的切向量与弧长

对于参数曲线$\mathbf{r}(t)=(x(t),y(t),z(t))$，其切向量为

弧长微元为

对于交面式表达的曲线$\{\begin{array}{l}F(x,y,z)=0,\\ G(x,y,z)=0,\end{array}$视参量$t$为坐标$x,y,z$之一即可. 以坐标$x$为例，切向量为$(1,y_x,z_x)$，弧长微元为$\mathrm{d}s=\sqrt{1+y_x^2+z_x^2}\mathrm{d}x$，其中$y_x,z_x$的计算方法已在上一小小节进行了充分讨论.

9. 空间曲面切平面的构建

对于参数曲面$\mathbf{r}(u,v)=(x(u,v),y(u,v),z(u,v))$，考虑其对两变量的偏导数${\mathbf{r}}_u,{\mathbf{r}}_v$. 经上一小小节的讨论，对于曲面上任一给定点$M_0(x_0,y_0,z_0)$，均存在一条在该曲面上且过该点的曲线

这里$v_0$为一常数，满足$x_0=x(u_0,v_0),y_0=y(u_0,v_0),z_0=z(u_0,v_0)$. 因此${{\mathbf{r}}_u|}_{M_0}$可视为该曲线在$(u_0,v_0)$处即点$M_0$处的切线. 类似地，${{\mathbf{r}}_v|}_{M_0}$为另一切线. 由于两切线均在切平面上，因此切平面的法向量为${\mathbf{r}}_u\times {\mathbf{r}}_v$，切点即点$M_0$.

对于一般式表达的曲面$F(x,y,z)=0$，其法向量为$\nabla F$. 特别地，对于形如$z=f(x,y)$的显式曲面，可取参数为$x,y$，那么$\mathbf{r}=(x,y,f(x,y))$，或者直接通过梯度计算.

2作业选讲

1. 1.

   {} [9.2.2 (5)] 求函数$u=\arctan \frac{x+y}{x-y}$对$x,y$的偏微商.

   解

   注意到

   $$z=\arctan \frac{x+y}{x-y}=\arctan \frac{1+(y/x)}{1-(y/x)}=\arctan \frac{y}{x}+\frac{\pi }{4},$$

   (2.1)

   因此$z_x=-y/(x^2+y^2),z_y=x/(x^2+y^2)$.

2. 2.

   (9.2.15) 根据可微的定义证明，函数$f(x,y)=\sqrt{\left|xy\right|}$在原点处不可微.

   解

   注意到$f(0,0)=0$，且$f_x(0,0)={\frac{\mathrm{d}f(x,0)}{\mathrm{d}x}|}_{x=0}=0=f_y(0,0)$，故

   $$\underset{\rho \to 0^{+}}{\lim }\frac{f(x,y)-f(0,0)-f_x(0,0)x-f_y(0,0)y}{\rho }=\underset{\rho \to 0^{+}}{\lim }\sqrt{\left|\cos \theta (\rho )\sin \theta (\rho )\right|},$$

   (2.2)

   可见当$f(x,y)$沿任一过极坐标原点的曲线$\rho =\rho (\theta )$趋于原点时，上述极限不存在，故$f(x,y)$在原点不可微.

3. 3.

   (9.2.16) 证明函数$f(x,y)=\{\begin{array}{ll}{x}^{2}y/(x^2+y^2),& x^2+y^2\ne 0,\\ 0,& x^2+y^2=0\end{array}$在点$(0,0)$连续且偏导数存在，但在此点不可微.

   解

   先证明连续性：

   $$\underset{\rho \to 0^{+}}{\lim }f(x,y)\underset{y=\rho \sin \theta }{\overset{x=\rho \cos \theta }{=}}\underset{\rho \to 0^{+}}{\lim }\rho {\cos }^2\theta (\rho )\sin \theta (\rho )=0,$$

   (2.3)

   其中已利用夹逼准则$0<\left|f(x,y)\right|⩽\rho$. 再证明不可微：由定义容易证明⁴$f_x(0,0)=f_y(0,0)=0$，因此

   $$\underset{\rho \to 0^{+}}{\lim }\frac{f(x,y)-f(0,0)-f_x(0,0)x-f_y(0,0)y}{\rho }=\underset{\rho \to 0^{+}}{\lim }{\cos }^2\theta (\rho )\sin \theta (\rho ).$$

   (2.4)

   例如当$f(x,y)$从不同方向沿射线趋于原点时，上述极限值不同，故该极限不存在，从而$f(x,y)$在原点不可微.

   注

   这两题是为了介绍分式型二元函数连续与可微性判断的通用解法⁵，无论是有理分式还是无理分式. 因为二元函数在原点的极限实际上是考虑函数值沿无穷多过原点路径的取值变化，从而在极坐标系下考虑是万分简单的. 对于某一确定的路径$\rho =\rho (\theta )$，二元极限退化成一元极限$\rho \to 0^{+}$，$\theta$随$\rho$的变化则由轨迹方程给出. 当然，对于含$\mathrm{e}$、$\ln$或者$\sin$项的表达式，这一方法对部分题也是适用的.

4. 4.

   (9.2.11) 设$r=\sqrt{x^2+y^2+z^2}$，证明当$r\ne 0$时有

   1. (a).

      $\frac{{\partial }^{2}r}{\partial x^2}+\frac{{\partial }^{2}r}{\partial y^2}+\frac{{\partial }^{2}r}{\partial z^2}=\frac{2}{r}$.

   2. (b).

      $\frac{{\partial }^2\ln r}{\partial x^2}+\frac{{\partial }^2\ln r}{\partial y^2}+\frac{{\partial }^2\ln r}{\partial z^2}=\frac{1}{r^2}$.

   3. (c).

      $\frac{{\partial }^2}{\partial x^2}\frac{1}{r^2}+\frac{{\partial }^2}{\partial y^2}\frac{1}{r^2}+\frac{{\partial }^2}{\partial z^2}\frac{1}{r^2}=0$.

   解

   直角坐标系下计算略，以下另外给两种解法：

   1. (a).

      Method 1: 采用球坐标下的Laplacian（背公式法），即

      $${\nabla }^2=\frac{1}{r^2}{\partial }_r(r^2{\partial }_{r}f)+\frac{1}{r^2\sin \theta }{\partial }_{\theta }(\sin \theta {\partial }_{\theta }f)+\frac{1}{r^2{\sin }^2\theta }{\partial }_{\phi }^{2}f.$$

      (2.5)

      由于$f(\mathbf{r})=f(r)$，即函数只与位矢$\mathbf{r}$的长度$r$有关，故仅取第一项，容易证明.

   2. (b).

      Method 2: 采用不依赖于坐标系的Leibniz公式方法（不背公式法，推荐）. 容易看出$\nabla r=\hat{\mathbf{r}},\nabla \cdot \mathbf{r}=3$，因此

      $${\nabla }^{2}r=\nabla \cdot \nabla r=\nabla \cdot \left(\frac{\mathbf{r}}{r}\right)=\frac{1}{r}\nabla \cdot \mathbf{r}+\mathbf{r}\cdot \nabla (\frac{1}{r})=\frac{3-1}{r}=\frac{2}{r}.$$

      (2.6)

      类似地，另外两问也容易证明：

      $${\nabla }^2\ln r=\nabla \cdot \frac{\hat{\mathbf{r}}}{r}=\nabla \cdot \frac{\mathbf{r}}{r^2}=\frac{3-2}{r^2}=\frac{1}{r^2},$$

      (2.7)

      $${\nabla }^2\left(\frac{1}{r}\right)=\nabla \cdot \left(-\frac{\mathbf{r}}{r^3}\right)=0.$$

      (2.8)
5. 5.

   (9.2.32) 设变换$\{\begin{array}{l}u=x-2y,\\ v=x+ay\end{array}$可把方程$6\frac{{\partial }^{2}z}{\partial x^2}+\frac{{\partial }^{2}z}{\partial x\partial y}-\frac{{\partial }^{2}z}{\partial y^2}=0$简化为$\frac{{\partial }^{2}z}{\partial u\partial v}=0$. 求常数$a$. （其中二阶偏导数均连续）

   解

   对于有显示解的变量代换方程组，千万不要上来就剥蒜！ 这里还是给两种不同解法，适合不同宝宝体质（雾）.

   1. (a).

      Method 1: 简单易懂的方法——反解方程组得到$x,y$关于$u,v$的表达式，这样只用算一次二阶偏导（原本要算三次），即$\{\begin{array}{l}x=(au+2v)/(a+2),\\ y=(v-u)/(a+2),\end{array}$从而

      $$z_{uv}={\partial }_v\left(\frac{a{z}_x-z_y}{a+2}\right)=\frac{2a{z}_{xx}+(a-2)z_{xy}-z_{yy}}{(a+2{)}^2}=0.$$

      (2.9)

      对比$z_{xx}$和$z_{yy}$的系数比，解得$a=3$.

   2. (b).

      Method 2: PDE降维打击（视情况可能习题课讲点），这是二阶线性齐次PDE，因此解以下方程：

      $$6(\mathrm{d}y{)}^2-(\mathrm{d}x)(\mathrm{d}y)-(\mathrm{d}x{)}^2=0⟹\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=\frac{1}{2}\text{or}-\frac{1}{3},$$

      (2.10)

      即$x-2y=C_1$和$x+3y=C_2$. 因此对于此双曲型方程，作变量代换$\xi =x-2y,\eta =x+3y$，必然可将其简化为$z_{\xi \eta }=0$. 对比系数可知，$a=3$.

   注

   为简单起见，考虑不含一次项和零次项的二阶线性齐次偏微分方程：

   $$a(x,y)z_{xx}+2b(x,y)z_{xy}+c(x,y)z_{y}y=0,$$

   (2.11)

   其特征方程为：

   $$a(\mathrm{d}y{)}^2-2b(\mathrm{d}x)(\mathrm{d}y)+c(\mathrm{d}x{)}^2=0,$$

   (2.12)

   注意交叉项符号反向. 其判别式$\Delta =b^2-ac$，该方程的解记为$\{\begin{array}{l}f(x,y)=C_1,\\ g(x,y)=C_2,\end{array}$则作相应的变量代换$\{\begin{array}{l}\xi =f(x,y),\\ \eta =g(x,y).\end{array}$ 以下分三种情况：

   1. (a).

      $\Delta >0$，该方程为双曲型，方程可化为$z_{\xi \eta }=0$.

   2. (b).

      $\Delta =0$，该方程为抛物型，此时保留$\xi$的变换，$\eta$与$\xi$线性无关即可.

   3. (c).

      $\Delta <0$，该方程为椭圆型，此时$f(x,y),g(x,y)$为共轭复变函数，考虑实值变量代换

      $$\{\begin{array}{l}\xi (x,y)=\mathrm{Re}f=(f+g)/2,\\ \eta (x,y)=\mathrm{Im}f=(f-g)/2\text{i}.\end{array}$$

      (2.13)

3真题集萃

1. 1.

   {} [23-24期中$T_1$ (2)] 求过直线$l=\{\begin{array}{l}2x+y-z-2=0,\\ 3x-2y-2z+1=0\end{array}$且与平面$\pi :3x+2y+3z-9=0$垂直的平面方程.

   解

   对于此交面式直线方程，参见1.1小小节给出的绕定直线的平面系方程：

   $${\pi }^{\prime }:(2+3\lambda )x+(1-2\lambda )-(1+2\lambda )z+(\lambda -2)=0,$$

   (3.1)

   因此${\pi }^{\prime }$与$\pi$垂直给出

   $$0=(2+3\lambda ,1-2\lambda ,-1-2\lambda )\cdot (3,2,3)=5-\lambda ⟹\lambda =5,$$

   (3.2)

   因此该平面方程为

   $${\pi }^{\prime }:17x-9y-11z+3=0.$$

   (3.3)
2. 2.

   (22-23期中$T_7$) 设$f(x,y)$为开区域$D\subset {\mathbb{R}}^2$上的连续可偏导函数，$\mathbf{u},\mathbf{v}$为${\mathbb{R}}^2$上的夹角为$\alpha$的单位向量. 证明：

   $$\left[{\left(\frac{\partial f}{\partial x}\right)}^2+{\left(\frac{\partial f}{\partial y}\right)}^2\right]{\sin }^2\alpha ⩽2\left[{\left(\frac{\partial f}{\partial \mathbf{u}}\right)}^2+{\left(\frac{\partial f}{\partial \mathbf{v}}\right)}^2\right].$$

   (3.4)
   解

   由题意，

   $$\frac{\partial f}{\partial \mathbf{u}}=\nabla f\cdot \mathbf{u},\frac{\partial f}{\partial \mathbf{v}}=\nabla f\cdot \mathbf{v}.$$

   (3.5)

   记$\nabla f$与$\mathbf{u},\mathbf{v}$的夹角分别为${\theta }_1,{\theta }_2$，则$\left|{\theta }_1-{\theta }_2\right|=\alpha$. 注意到$\mathbf{u},\mathbf{v}$为单位向量，因此

   $$2\left[{\left(\frac{\partial f}{\partial \mathbf{u}}\right)}^2+{\left(\frac{\partial f}{\partial \mathbf{v}}\right)}^2\right]=2{\left|\nabla f\right|}^2({\cos }^2{\theta }_1+{\cos }^2{\theta }_2)=2{\left|\nabla f\right|}^2\left(1+\frac{\cos 2{\theta }_1+\cos 2{\theta }_2}{2}\right)$$

   $$=2{\left|\nabla f\right|}^2[1+\cos ({\theta }_1+{\theta }_2)\cos ({\theta }_1-{\theta }_2)]⩾2{\left|\nabla f\right|}^2(1-\cos \alpha )$$

   $$⩾(1+\cos \alpha )\cdot {\left|\nabla f\right|}^2(1-\cos \alpha )={\left|\nabla f\right|}^2{\sin }^2\alpha .$$

   (3.6)
3. 3.

   (22-23期中$T_8$) 二元函数$f(x,y)$被称为凸函数是指：对$\forall (x_1,y_1),(x_2,y_2)\in {\mathbb{R}}^2,t\in [0,1]$，都有如下不等式：

   $$f(t{x}_1+(1-t)x_2,t{y}_1+(1-t)y_2)⩽tf(x_1,y_1)+(1-t)f(x_2,y_2).$$

   (3.7)

   假设函数$f$是可微的，求证：$f$是凸函数当且仅当对$\forall (x_1,y_1),(x_2,y_2)\in {\mathbb{R}}^2$，有

   $$(x_1-x_2)f_x^{\prime }(x_1,y_1)+(y_1-y_2)f_y^{\prime }(x_1,y_1)⩾f(x_1,y_1)-f(x_2,y_2).$$

   (3.8)
   解

   1. (a).

      必要性：记$\{\begin{array}{l}x=t{x}_1+(1-t)x_2,\\ y=t{y}_1+(1-t)y_2,\end{array}$则条件可化为

      $$f(x_1,y_1)-f(x_2,y_2)⩾\frac{f(x,y)-f(x_2,y)}{t}+\frac{f(x_2,y)-f(x_2,y_2)}{t},$$

      (3.9)

      其中已利用$t\in [0,1]$的条件. 再记$\Delta x=t(x_1-x_2),\Delta y=t(y_1-y_2)$，则$\{\begin{array}{l}x=x_2+\Delta x,\\ y=y_2+\Delta y.\end{array}$ 由于$x_1,x_2$和$y_1,y_2$大小关系不定，$t\to 0^{+}$时可对应$\Delta x\to 0^{+}$ or $0^{-}$，合并写成$\Delta x\to 0$； $\Delta y$类似. 结合二元函数的微分中值定理，对不等式两侧分别取$t\to 0^{+}$的极限可得

      $$f(x_1,y_1)-f(x_2,y_2)$$

      $$⩾(x_1-x_2)\underset{t\to 0^{+}}{\lim }{f}_x(x_2+{\theta }_1\Delta x,y(t))+(y_1-y_2)\underset{\Delta y\to 0}{\lim }{f}_y(x_2,y_2+{\theta }_2\Delta y)$$

      $$=(x_1-x_2)f_x(x_2,y_2)+(y_1-y_2)f_y(x_2,y_2).$$

      (3.10)

      由于点$P_1(x_1,y_1),P_2(x_2,y_2)$平权，故交换下标1和2可得到待证表达式.

   2. (b).

      充分性：改用$P_1(x_1,y_1)$和$P(x,y)$表示$P_2(x_2,y_2)$：

      $$\{\begin{array}{l}{x}_2=(x-t{x}_1)/(1-t),\\ y_2=(y-t{y}_1)/(1-t),\end{array}$$

      (3.11)

      构造函数

      $$g(t)=f(x,y)-tf(x_1,y_1)-(1-t)f\left(\frac{x-t{x}_1}{1-t},\frac{y-t{y}_2}{1-t}\right).$$

      (3.12)

      注意此时认为$(x,y)$是独立于$t$的参数，而原本的$(x_2,y_2)$才是$t$的函数，从而其一阶导为

      $$g^{\prime }(t)=-f(x_1,y_1)+f\left(x_2(t),y_2(t)\right)$$

      $$-\left[\frac{x-x_1}{1-t}{f}_1(x_2(t),y_2(t))+\frac{y-y_1}{1-t}{f}_2(x_2(t),y_2(t))\right]$$

      $$=f(x_2,y_2)-f(x_1,y_1)-[(x_2-x_1)f_x(x_2,y_2)+(y_2-y_1)f_y(x_2,y_2)]⩾0,$$

      (3.13)

      其中最后一个不等式用到了题设条件，故$g(t)$在$t\in [0,1]$上单调递增，$g(t)⩾g(0)=0$，即

      $$f(t{x}_1+(1-t)x_2,t{y}_1+(1-t)y_2)⩽tf(x_1,y_1)+(1-t)f(x_2,y_2).$$

      (3.14)
4. 4.

   {} [22-23期中$T_2$ (2)] 求由方程$z^3-3xyz=a^3$在点$(0,0,a)$附近所确定函数$z(x,y)$的偏导数$\frac{{\partial }^{2}z}{\partial x\partial y}$，其中$a$为给定的正常数.

   解

   记$F(x,y,z)=z^3-3xyz-a^3$，则由隐函数求导法则，对于由$F=0$确定的函数$z=z(x,y)$，

   $${z_x|}_{(0,0,a)}=-{\frac{F_x}{F_z}|}_{(0,0,a)}={\frac{yz}{z^2-xy}|}_{(0,0,a)}=0,$$

   (3.15)

   $${z_{xy}|}_{(0,0,a)}={{\partial }_y{z}_x|}_{(0,0,a)}={\frac{z^3-y(z^2+xy)z_y}{(z^2-xy{)}^2}|}_{(0,0,a)}=\frac{1}{a},$$

   (3.16)

   其中$z_y(0,0)=z_x(0,0)=0$利用了原方程以及研究点$(0,0,a)$中$x,y$坐标的交换对称性.

5. 5.

   (21-22期中$T_4$) 给定正整数$n$，设函数$f(x,y)=\{\begin{array}{ll}(x+y{)}^n\ln (x^2+y^2),& (x,y)\ne (0,0),\\ 0,& (x,y)=(0,0).\end{array}$讨论$n$为何值时，$f(x,y)$在点$(0,0)$处：(1)连续；(2)可微.

   解

   将$f(x,y)$在极坐标下表示：

   $$g(\rho ,\theta )=f(\rho \cos \theta ,\rho \sin \theta )={\rho }^n\ln {\rho }^2\cdot (\cos \theta +\sin \theta {)}^n.$$

   (3.17)

   1. (a).

      $f(x,y)$在原点连续等价于

      $$0=f(0,0)=\underset{(x,y)\to (0,0)}{\lim }=\underset{\rho \to 0^{+}}{\lim }g(\rho ,\theta (\rho )).$$

      (3.18)

      注意到

      $$\underset{\rho \to 0^{+}}{\lim }{\rho }^n\ln {\rho }^2=\{\begin{array}{l}0,n>0,\\ \text{不存在},n⩾0.\end{array}$$

      (3.19)

      另一方面，$n$有限使得$\left|(\cos \theta +\sin \theta {)}^n\right|⩽2^n$，故$f(x,y)$在原点连续要求$n>0$.

   2. (b).

      注意到$g(\rho ,\theta )\propto \rho$且$g(0,\theta )=0$，故按定义必然可算出⁶$f_x(0,0)=f_y(0,0)=0$，从而$f(x,y)$在原点可微等价于

      $$\underset{\rho \to 0^{+}}{\lim }\frac{g(\rho ,\theta )}{\rho }=\underset{\rho \to 0^{+}}{\lim }{\rho }^{n-1}\ln {\rho }^2\cdot [\cos \theta (\rho )+\sin \theta (\rho ){]}^n,$$

      (3.20)

      仿上分析可知，此时要求$n-1>0$，即$n>1$.

6. 6.

   (20-21期中$T_2$) 设$f(x,y)$有2阶连续偏导数，$\frac{\partial f}{\partial y}\ne 0$，求$f(x,y)=0$确定的隐函数$y=\phi (x)$的二阶偏导数（用$f$的各阶导数表示）.

   解

   $y_x=-f_y(x,y(x))/f_x(x,y(x))$，进而

   $$y_{xx}=-\frac{1}{f_y^2}[f_y(f_{xx}+f_{xy}{y}_x)-f_x(f_{yx}+f_{yy}{y}_x)]$$

   $$=-\frac{1}{f_y^2}[(f_{xx}{f}_y-f_{xy}{f}_x)+(f_y{f}_{xy}-f_x{f}_{yy})y_x]$$

   $$=-\frac{1}{f_y^3}(f_y^2{f}_{xx}-2f_x{f}_y{f}_{xy}+f_x^2{f}_{yy})$$

   (3.21)
7. 7.

   (20-21期中$T_5$) 设参数变换$u=u(x,y),v=v(x,y)$有二阶连续的偏导数，并满足

   $$\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y},\frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{\partial v}{\partial x},$$

   (3.22)

   证明：对任意二阶连续可微函数$z=f(x,y)$，有

   $$\frac{{\partial }^{2}z}{\partial x^2}+\frac{{\partial }^{2}z}{\partial y^2}=\left[{\left(\frac{\partial u}{\partial x}\right)}^2+{\left(\frac{\partial u}{\partial y}\right)}^2\right]\left(\frac{{\partial }^{2}z}{\partial u^2}+\frac{{\partial }^{2}z}{\partial v^2}\right).$$

   (3.23)
   解

   这道题的出题背景是复变函数中可微函数的调和性，给出的微分条件实际上被称为Cauchy-Riemann方程，是判定函数可微的充要条件之一. 设

   $$\left(\begin{array}{c}{\partial }_x\\ {\partial }_y\end{array}\right)=M\left(\begin{array}{c}{\partial }_u\\ {\partial }_v\end{array}\right),M=\left(\begin{array}{c}{u}_x{v}_x\\ u_y{v}_y\end{array}\right).$$

   (3.24)

   代入题设条件，

   $$M^{T}M=\left(\begin{array}{c}{u}_x{u}_y\\ -u_y{u}_x\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}{u}_x-u_y\\ u_y{u}_x\end{array}\right)=(u_x^2+u_y^2)I,$$

   (3.25)

   其中$I$为单位矩阵，因此

   $${\Delta }_{xy}={\partial }_x^2+{\partial }_y^2=\left(\begin{array}{c}{\partial }_x{\partial }_y\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}{\partial }_x\\ {\partial }_y\end{array}\right)$$

   $$=\left(\begin{array}{c}{\partial }_u{\partial }_v\end{array}\right)M^{T}M\left(\begin{array}{c}{\partial }_u\\ {\partial }_v\end{array}\right)$$

   $$=(u_x^2+u_y^2){\Delta }_{uv},$$

   (3.26)

   将其作用在$z=f(x,y)$上，展开写成

   $$z_{xx}^2+z_{yy}^2=(u_x^2+u_y^2)(z_{uu}^2+z_{vv}^2).$$

   (3.27)
8. 8.

   (18-19期中$T_1$) 设有空间直线$L_1$与$L_2$分别由如下的方程组定义：

   $$L_1:\{\begin{array}{l}x=y,\\ x+y+z=1,\end{array}{L}_2\{\begin{array}{l}2x+y=1,\\ x+z=0.\end{array}$$

   (3.28)

   求一个平面与它们平行且到它们的距离相等.

   解

   与两直线均平行的平面，其法向量与两直线均垂直，因此先求出$L_1,L_2$的方向向量

   $${\mathbf{\tau }}_1=(1,-1,0)\times (1,1,1)=(-1,-1,2),$$

   (3.29)

   $${\mathbf{\tau }}_2=(2,1,0)\times (1,0,1)=(1,-2,-1),$$

   (3.30)

   从而平面的法向量为

   $$\mathbf{n}={\mathbf{\tau }}_1\times {\mathbf{\tau }}_2=(5,1,3).$$

   (3.31)

   各取$L_1,L_2$上一点$P_1(0,0,1)$和$P_2(0,1,0)$，那么法向量为$\mathbf{n}$且过$L_1,L_2$的平面方程为

   $${\pi }_1:5x+y+3z-3=0,{\pi }_2:5x+y+3z-1=0.$$

   (3.32)

   因此到$L_1,L_2$距离相等的平面即到${\pi }_1,{\pi }_2$距离相等的平面，其方程为

   $$\pi :5x+y+3z-2=0.$$

   (3.33)
9. 9.

   (18-19期中$T_2$) 设有一条曲线由如下方程组定义：

   $$\{\begin{array}{l}x=yz,\\ x^2+y^2+z^2=2,\end{array}$$

   (3.34)

   请判断这条曲线在不在一个平面上，并给出理由.

   解

   考虑$x=0$的点，可解得$(0,\pm \sqrt{2},0),(0,0,\pm \sqrt{2})$，这些点都在平面$x=0$上. 若该曲线在某一平面上，要求其余点也均在此平面上，显然这是不可能的，例如点$(\sqrt{3}-1,\sqrt{\sqrt{3}-1},\sqrt{\sqrt{3}-1})$就不在该平面上. 因此这条曲线不在一个平面上.

10. 10.

    (18-19期中$T_5$) 设$C>0$是一个常数，又设函数$f(x,y)$满足：对于任何平面上的点$(x,y)$，存在$a(x,y),b(x,y)$使得对于任何实数$h,k$满足$\left|h\right|+\left|k\right|⩽1$，有

    $$\left|f(x+h,y+k)-f(x,y)-a(x,y)h-b(x,y)k\right|⩽C(\left|h\right|+\left|k\right|{)}^{3/2}.$$

    (3.35)

    求证：$f$有一致连续的偏导数.

    解

    记$\rho =\sqrt{h^2+k^2}$，均值不等式给出，

    $$\left|f(x+h,y+k)-f(x,y)-a(x,y)h-b(x,y)k\right|⩽C(\left|h\right|+\left|k\right|{)}^{3/2}⩽C{\left(\sqrt{2}\rho \right)}^{3/2},$$

    (3.36)

    由夹逼准则，

    $$\underset{\rho \to 0^{+}}{\lim }\frac{f(x+h,y+k)-f(x,y)-a(x,y)h-b(x,y)k}{\rho }=0,$$

    (3.37)

    因此$f(x,y)$在${\mathbb{R}}^2$上可微，且$a(x,y)=f_x(x,y),b(x,y)=f_y(x,y)$. 令$k=0$，分别对$(x,y)\to (x+h,y)$和$(x+h,y)\to (x,y)$的变化写出不等式：

    $$\left|f(x+h,y)-f(x,y)-f_x(x,y)h\right|⩽C{\left|h\right|}^{3/2},$$

    (3.38)

    $$\left|f(x,y)-f(x+h,y)-f_x(x+h,y)(-h)\right|⩽C{\left|-h\right|}^{3/2},$$

    (3.39)

    由三角不等式，

    $$\left|f_x(x+h,y)-f_x(x,y)\right|$$

    $$⩽\frac{1}{\left|h\right|}\left(\left|f(x,y)-f(x+h,y)+f_x(x+h,y)h\right|+\left|f(x+h,y)-f(x,y)-f_x(x,y)h\right|\right)$$

    $$⩽\frac{C{\left|h\right|}^{3/2}+C{\left|h\right|}^{3/2}}{\left|h\right|}=2C\sqrt{\left|h\right|},$$

    (3.40)

    因此对$\forall \epsilon >0$，总$\exists \delta (\epsilon )=(\epsilon /2C{)}^2$，当$\left|h\right|<\delta$时，满足

    $$\left|f_x(x+h,y)-f_x(x,y)\right|⩽2C\sqrt{\left|h\right|}<\epsilon .$$

    (3.41)

    故$f_x$在${\mathbb{R}}^2$上一致连续，$f_y$类似可证. 综上，$f$有一致连续的偏导数.