25春-第14次习题课 · 数学分析(B2)汇总

1知识回顾

Fourier分析这一章就考试而言相当简单，毕竟考察的内容均为暴力计算. 因此这一章的复习集中于习题训练，辅以小部分的技巧讲解.

1.1 三角函数系与Fourier展开

三角函数系

1, cos x, sin x, cos 2 x, sin 2 x, \dots

(1.1)

构成 $I = [- π, π]$ 区间内一组正交基. 将任意实函数 $f (x) (x \in I)$ 在三角函数系下展开，可得

f (x) \sim \frac{a _{0}}{2} + n = 1 \sum \infty (a_{n} cos n x + b_{n} sin n x),

(1.2)

其中Fourier系数

a_{n} = \frac{1}{π} \int_{- π}^{π} f (x) cos n x d x (n = 0, 1, 2, \dots,),

(1.3)

b_{n} = \frac{1}{π} \int_{- π}^{π} f (x) sin n x d x (n = 1, 2, \dots,) .

(1.4)

要判断其收敛性，可采用Dirichlet收敛定理：若 $f (x)$ 以 $2 π$ 为周期且在 $I$ 上分段可微，则其Fourier级数

\frac{a _{0}}{2} + n = 1 \sum \infty (a_{n} cos n x + b_{n} sin n x) = {f (x), 连续点, [f (x - 0) + f (x + 0)] /2, 间断点 .

(1.5)

为书写简便，答题时可在前几行列出不同间断点的收敛值，最后在连续点出写收敛到 $f (x)$ ，收敛点为“elsewhere”. 若区间为 $I (l) = [- l, l] (l > 0)$ ，则可选的函数基为 $cos (nπ x / l)$ 和 $sin (nπ x / l)$ . 这是容易记忆的，因为可验证 $l = π$ 时回到上式，后续所有的 $cos$ 和 $sin$ 项进行替换即可.

1.2 余弦级数与正弦级数

通常计算余弦级数时为半区间 $[0, l]$ ，或者函数在区间 $[- l, l]$ 上为偶函数. 对于前者，需要说明将 $f (x)$ 在区间 $[- l, 0)$ 上作偶（奇）延拓得到 $F (x)$ （后续的周期延拓建议说明一下）. 对于余弦级数，

a_{n} = \frac{2}{l} \int_{0}^{l} f (x) cos \frac{nπ x}{l} d x (n = 0, 1, 2, \dots), b_{n} = 0 (n = 1, 2, \dots) .

(1.6)

对于正弦级数，

a_{n} = 0 (n = 0, 1, 2, \dots), b_{n} = \frac{2}{l} \int_{0}^{l} f (x) sin \frac{nπ x}{l} d x (n = 1, 2, \dots) .

(1.7)

1.3 Parseval等式

就应试而言，需要研究Fourier级数的函数均为平方可积的，不需要进一步判断，其形式为

\frac{a _{0}^{2}}{2} + n = 1 \sum \infty (a_{n}^{2} + b_{n}^{2}) = \frac{1}{l} \int_{- l}^{l} f^{2} (x) d x .

(1.8)

1.4 广义Fourier级数

了解Fourier级数来由后，任意关于广义Fourier级数的考察都能迎刃而解. 对于任一组定义在区间 $A$ 上函数基 ${φ_{n} (x)}_{n = 1}^{\infty}$ ，首先需要进行Schmidt正交化：

ψ_{1} (x) = \frac{φ _{1} ( x )}{∥ φ _{1} ( x ) ∥},

(1.9)

φ_{n} (x) = φ_{n} (x) - k = 1 \sum n - 1 φ_{k} (x) ⟨ φ_{k} (x), φ_{n} (x) ⟩,

(1.10)

ψ_{n} (x) = \frac{φ _{n} ( x )}{∥ φ _{n} ( x ) ∥} (n ⩾ 2),

(1.11)

其中

⟨ φ_{k} (x), φ_{n} (x) ⟩ = \int_{A} φ_{k} (x) φ_{n} (x) d x, ∥ φ_{k} (x) ∥ = ⟨ φ_{k} (x), φ_{k} (x) ⟩ .

(1.12)

1.5 Fourier变换

Fourier变换近年都没有考察，但它在各领域均是被广泛使用的有力数学工具，因此加以了解是十分有必要的. 关于Fourier变换比较系统的知识会在数学物理方程课程中学习，这里先给出基本定义：

F (λ) = \int_{- \infty}^{+ \infty} f (x) e^{i λ x} d x ⟺ f (x) = \frac{1}{2 π} \int_{- \infty}^{+ \infty} F (λ) e^{- i λ x} d λ,

(1.13)

关于Fourier变换容易证明的常用性质也列举如下：

1.
线性性： $F [α f (x) + β g (x)] = α F (λ) + β G (λ)$ .
2.
频移： $F [f (x) e^{i λ_{0} x}] = F (λ - λ_{0})$ .
3.
微分关系： $F [f^{(n)} (x)] = (i λ)^{n} F (λ)$ .
4.
积分关系： $F [\int_{- \infty}^{x} f (ξ) d ξ] = \frac{1}{i λ} F (λ)$ .
5.
卷积性质¹： $F [f (x) * g (x)] = F (λ) G (λ)$ .

注
卷积： $f (x) * g (x) = \int_{- \infty}^{+ \infty} f (x - ξ) g (ξ) d ξ$ .

2作业选讲

1.
(12.1.4) 已知函数的Fourier级数展开式，求常数 $a$ 的值.
1. (1)
  $n = 1 \sum \infty \frac{cos ( 2 n - 1 ) x}{( 2 n - 1 ) ^{2}} = a (2 a - ∣ x ∣)$ ，其中 $- π ⩽ x ⩽ π$ .
2.
(12.2.2) 设 $f (x)$ 是 $[- π, π]$ 上可积且平方可积的函数， $a_{n}, b_{n}$ 是 $f (x)$ 的Fourier系数. 求证： $n = 1 \sum \infty \frac{a _{n}}{n}$ 和 $n = 1 \sum \infty \frac{b _{n}}{n}$ 收敛.