第3周作业 · 数学分析(B2)汇总

1Exercise 9.2

1.
(9.2.2)
1. (a).
  $z_{x} = 3^{- y / x} ln 3 \cdot y / x^{2}, z_{y} = 3^{- y / x} ln 3 \cdot (- 1/ x)$ .
2. (b).
  注意到
  
  $z = arctan \frac{x + y}{x - y} = arctan \frac{1 + ( y / x )}{1 - ( y / x )} = arctan \frac{y}{x} + \frac{π}{4},$
  (1.1)
  
  因此 $z_{x} = - y / (x^{2} + y^{2}), z_{y} = x / (x^{2} + y^{2})$ .
3. (c).
  $u_{x} = y_{z} \cdot x^{y^{z} - 1}, u_{y} = x^{y^{z}} ln x \cdot z y^{z - 1}, u_{z} = x^{y^{z}} ln x \cdot y^{z} ln y$ .
4. (d).
  $u_{x} = e^{- z} + 1/ (x + ln y), u_{y} = 1/ [y (x + ln y)], u_{z} = - x e^{- z} + 1$ .
2.
(9.2.3) $f_{x} = 2 sin (x^{2} y) / x, f_{y} = sin (x^{2} y) / y$ .
3.
(9.2.4) 由题意，

$f_{x} (0, 0) = x \to 0 lim \frac{f ( x , 0 ) - f ( 0 , 0 )}{x} = 0,$
$f_{y} (0, 0) = y \to 0 lim \frac{f ( 0 , y ) - f ( 0 , 0 )}{y} = y \to 0 lim sin \frac{1}{y ^{2}} 振荡发散 .$
4.
(9.2.6) 参数方程为 ${y = 4, z = x^{2} /4 + 4,$ 因此切向量

$τ = (1, 0, \frac{x}{2})_{x = 2} = (1, 0, 1),$
(1.2)

从而 $τ$ 与 $O x$ 轴的夹角为 $π /4$ .
5.
(9.2.8) 由题意，

$u_{t} = - \frac{1}{2 t ^{3/2}} e^{- x^{2} /4 t} + \frac{x ^{2}}{4 t ^{5/2}} e^{- x^{2} /4 t},$
$u_{x} = - \frac{x}{2 t ^{3/2}} e^{- x^{2} /4 t},$
$u_{xx} = - \frac{1}{2 t ^{3/2}} e^{- x^{2} /4 t} + \frac{x}{4 t ^{5/2}} e^{- x^{2} /4 t} .$
6.
(9.2.11) 直角坐标系下计算略，以下另外给两种解法：
1. (a).
  Method 1: 采用球坐标下的Laplacian（背公式法），即
  
  $\nabla^{2} = \frac{1}{r ^{2}} \partial_{r} (r^{2} \partial_{r} f) + \frac{1}{r ^{2} sin θ} \partial_{θ} (sin θ \partial_{θ} f) + \frac{1}{r ^{2} sin ^{2} θ} \partial_{φ}^{2} f .$
  (1.3)
  
  由于 $f (r) = f (r)$ ，即函数只与位矢 $r$ 的长度 $r$ 有关，故仅取第一项，容易证明.
2. (b).
  Method 2: 采用不依赖于坐标系的Leibniz公式方法（不背公式法，推荐）. 容易看出 $\nabla r = r^, \nabla \cdot r = 3$ ，因此
  
  $\nabla^{2} r = \nabla \cdot \nabla r = \nabla \cdot (\frac{r}{r}) = \frac{1}{r} \nabla \cdot r + r \cdot \nabla (\frac{1}{r}) = \frac{3 - 1}{r} = \frac{2}{r} .$
  (1.4)
  
  类似地，另外两问也容易证明：
  
  $\nabla^{2} ln r = \nabla \cdot \frac{r ^}{r} = \nabla \cdot \frac{r}{r ^{2}} = \frac{3 - 2}{r ^{2}} = \frac{1}{r ^{2}},$
  (1.5)
  $\nabla^{2} (\frac{1}{r}) = \nabla \cdot (- \frac{r}{r ^{3}}) = 0.$
  (1.6)
7.
(9.2.13)
1. (a).
  $d z = (x d y - y d x) / (x^{2} + y^{2})$ .
2. (b).
  $d z = 4 x (x^{2} - 2 y^{2}) d x + 4 y (y^{2} - 2 x^{2}) d y$ ，因此 $d z ∣_{(0, 0)} = 0, d z ∣_{(1, 1)} = - 4 (d x + d y)$ .
8.
(9.2.15) 注意到 $f (0, 0) = 0$ ，且 $f_{x} (0, 0) = \frac{d f ( x , 0 )}{d x}_{x = 0} = 0 = f_{y} (0, 0)$ ，故

$ρ \to 0^{+} lim \frac{f ( x , y ) - f ( 0 , 0 ) - f _{x} ( 0 , 0 ) x - f _{y} ( 0 , 0 ) y}{ρ} = ρ \to 0^{+} lim ∣ cos θ (ρ) sin θ (ρ) ∣,$
(1.7)

可见当 $f (x, y)$ 沿任一过极坐标原点的曲线 $ρ = ρ (θ)$ 趋于原点时，上述极限不存在，故 $f (x, y)$ 在原点不可微.
9.
(9.2.16) 先证明连续性：

$ρ \to 0^{+} lim f (x, y) x = ρ c o s θ y = ρ s i n θ ρ \to 0^{+} lim ρ cos^{2} θ (ρ) sin θ (ρ) = 0,$
(1.8)

其中已利用夹逼准则 $0 < ∣ f (x, y) ∣ ⩽ ρ$ . 再证明不可微：由定义容易证明¹ $f_{x} (0, 0) = f_{y} (0, 0) = 0$ ，因此

$ρ \to 0^{+} lim \frac{f ( x , y ) - f ( 0 , 0 ) - f _{x} ( 0 , 0 ) x - f _{y} ( 0 , 0 ) y}{ρ} = ρ \to 0^{+} lim cos^{2} θ (ρ) sin θ (ρ) .$
(1.9)

例如当 $f (x, y)$ 从不同方向沿射线趋于原点时，上述极限值不同，故该极限不存在，从而 $f (x, y)$ 在原点不可微.
10.
(9.2.20)
1. (a).
  $u^{'} (t) = f_{x} cos t - f_{y} sin t + f_{z} e^{t}$ .
2. (b).
  $u_{x} = 2 x f_{1} + y e^{x y} f_{2}$ 易求，二阶偏导给同学们一个防止漏项的求解示范：
  
  $u_{x y} = 2 x (- 2 y f_{11} + x e^{x y} f_{12}) + (1 + x y) e^{x y} \cdot f_{2} + y e^{x y} (- 2 y f_{21} + x e^{x y} f_{22})$
  $= - 4 x y f_{11} + 2 (x^{2} - y^{2}) e^{x y} f_{12} + x y e^{2 x y} f_{22} + (1 + x y) e^{x y} f_{2} .$
  (1.10)
3. (c).
  $u_{x} = f_{1} + 2 x f_{2}, u_{xx} = f_{11} + 4 x f_{12} + 4 x^{2} f_{22} + 2 f_{2}, u_{x y} = f_{11} + 2 (x + y) f_{12} + 4 x y f_{22}$ .
11.
(9.2.25) $u_{x} = f^{'} (t) (y φ_{1} + φ_{2}), u_{y} = f^{'} (t) (x φ_{1} + φ_{2}), u_{x y} = f^{''} (t) (y φ_{1} + φ_{2}) (x φ_{1} + φ_{2}) + f^{'} (t) [x y φ_{11} + (x + y) φ_{12} + φ_{22} + φ_{1}]$ .
12.
(9.2.26) $x z_{x} - y z_{y} = x \cdot y f^{'} - y \cdot x f^{'} = 0$ .
13.
(9.2.27) $x z_{x} + y^{2} z_{y} = x \cdot (f^{'} / x) + y^{2} \cdot f^{'} \cdot (- 1/ y^{2}) = 0$ .
14.
(9.2.28) Trivial，懒得写了.
15.
(9.2.32) 对于有显示解的变量代换方程组，千万不要上来就剥蒜！这里还是给两种不同解法，适合不同宝宝体质（雾）.
1. (a).
  Method 1: 简单易懂的方法——反解方程组得到 $x, y$ 关于 $u, v$ 的表达式，这样只用算一次二阶偏导（原本要算三次），即 ${x = (a u + 2 v) / (a + 2), y = (v - u) / (a + 2),$ 从而
  
  $z_{uv} = \partial_{v} (\frac{a z _{x} - z _{y}}{a + 2}) = \frac{2 a z _{xx} + ( a - 2 ) z _{x y} - z _{y y}}{( a + 2 ) ^{2}} = 0.$
  (1.11)
  
  对比 $z_{xx}$ 和 $z_{y y}$ 的系数比，解得 $a = 3$ .
2. (b).
  Method 2: PDE降维打击（视情况可能习题课讲点），这是二阶线性齐次PDE，因此解以下方程：
  
  $6 (d y)^{2} - (d x) (d y) - (d x)^{2} = 0 ⟹ \frac{d y}{d x} = \frac{1}{2} or - \frac{1}{3},$
  (1.12)
  
  即 $x - 2 y = C_{1}$ 和 $x + 3 y = C_{2}$ . 因此对于此双曲型方程，作变量代换 $ξ = x - 2 y, η = x + 3 y$ ，必然可将其简化为 $z_{ξ η} = 0$ . 对比系数可知， $a = 3$ .

2Exercise 9.3

1.
(9.3.1 (1)) 由题意，记 $F (x, y) = x^{2} + x y + y^{2} - 7$ ，则

$\frac{d y}{d x} = - \frac{F _{x}}{F _{y}} = - \frac{2 x + y}{2 y + x},$
(2.1)

可见在 $x, y > 0$ 的区域内均有 $\frac{d y}{d x} < 0$ ，该方程在点 $(2, 1)$ 附近有唯一解，且

$\frac{d y}{d x}_{(2, 1)} = - \frac{5}{4}, \frac{d ^{2} y}{d x ^{2}}_{(2, 1)} = \frac{3 ( x y ^{'} - y )}{( 2 y + x ) ^{2}}_{(2, 1)} = - \frac{21}{32} .$
(2.2)

注
计算隐函数在定点的高阶导时，可将其中已计算出的低阶导数值整体代入，不必再代入其代数表达式.
2.
(9.3.2)
1. (a).
  按汪爷爷提到的书写规范，记 $F (x, y) = ln (x^{2} + y^{2}) /2 - arctan (y / x)$ ，则
  
  $\frac{d y}{d x} = - \frac{F _{x}}{F _{y}} = \frac{x + y}{x - y}, \frac{d ^{2} y}{d x ^{2}} = \frac{2 ( x y ^{'} - y )}{( x - y ) ^{2}} = \frac{2 ( x ^{2} + y ^{2} )}{( x - y ) ^{3}} .$
  (2.3)
2. (b).
  注意到 $z_{x}, z_{y}$ 可完整构成全微分 $d z$ ，故对原方程取微分，避免两次计算微分（偏导数）：
  
  $\frac{z d x - x d z}{z ^{2}} = \frac{d z}{z} - \frac{d y}{y} ⟹ d z = \frac{z ( y d x + z d y )}{y ( x + z )},$
  (2.4)
  
  从中可得 $z_{x} = z / (x + z), z_{y} = z^{2} / [y (x + z)]$ .
3.
(9.3.4 (1)) 由题意，

$sin 2 x d x + sin 2 y d y + sin 2 z d z = 0 ⟹ d z = - \frac{sin 2 x d x + sin 2 y d y}{sin 2 z} .$
(2.5)

助教偷懒，考试不能这么写，毕竟算分的